Análisis del desempeño de algoritmos basados en la teoría de campo medio para problemas tipo mochila.

Banda Moreno, Juan Antonio (2018) Análisis del desempeño de algoritmos basados en la teoría de campo medio para problemas tipo mochila. Doctorado thesis, Universidad Autónoma de Nuevo León.

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Resumen

Se propone una metodología basada en teorías de campo medio para resolver problemas tipo mochila con funciones objetivo lineales y cuadráticas a gran escala. Además, se consideran problemas desde una hasta treinta restricciones lineales. Estos problemas son conocidos en la literatura como el problema de la mochila, el problema de la mochila cuadrática y el problema de la mochila multidimensional. Fueron seleccionados por su sencilla interpretación y múltiples aplicaciones en la vida real. Asimismo, en los dos primeros problemas, se toman casos en los que se sabe que dado el algoritmo exacto no es conveniente su implementación. Para el tercer problema simplemente se toman los casos más usados para validar la eficiencia de algoritmos, casos en los que el valor ´optimo es desconocido para algunos tipos. La esencia de la metodología propuesta es encontrar una función de distribución de probabilidad asociada a un problema de optimización. Una de las más usadas es la distribución de Boltzmann que involucra la función objetivo y sus restricciones, mediante la relajación Lagrangiana, transformando un problema discreto en uno continuo. Sin embargo, la distribución por si sola es compleja y difícil de tratar, por lo que se realiza una aproximación de campo medio que resulta de elegir de un conjunto de distribuciones sencillas, aquella que ofrezca la menor diferencia entre la distribución de Boltzmann y ´esta. Los problemas de optimización usados para validar la eficiencia de la metodología propuesta son binarios por lo que la distribución general de campo medio que se plantea es adecuada para este tipo. En dado caso en el que se quiera utilizar esta metodología en otro tipo de problemas, es necesario presentar otra distribución de campo medio que se ajuste a ellos. El enfoque de campo medio usado en el presente trabajo permite encontrar ecuaciones independientes que estiman la probabilidad de ocurrencia de cada una de las variables a través del espacio dual; es decir, dando valores a los multiplicadores de LaGrange, es posible construir un vector de probabilidades en el que cada elemento representa la probabilidad de activar una determinada variable de una solución del problema binario. El algoritmo propuesto es determinista y capaz de encontrar soluciones de alta calidad en los problemas de prueba, con tiempos de ejecución cuyos ´ordenes de magnitud son inferiores a algoritmos recientemente estudiados. Objetivos y método de estudio: ´ Distinguir e identificar las bondades de utilizar un modelo probabilístico de campo medio, en problemas tipo mochila, para la construcción de soluciones factibles. Para ello, se parte de que cualquier problema de optimización está relacionado con la distribución de probabilidad de Boltzmann la cual es aproximada por una distribución mucho más sencilla. Teniendo la distribución aproximada es posible construir una solución binaria mediante técnicas de redondeo. CONTRIBUCIONES y CONCLUSIONES: Se logra obtener una metodología rápida y eficaz para construir soluciones factibles en problemas de gran escala de tipo mochila. Se abordan problemas con restricciones lineales, funciones objetivo cuadráticas y lineales, e inclusive problemas con múltiples restricciones. En todos estos casos se encuentran soluciones de calidad en poco tiempo, en promedio conforme crece su tamaño la diferencia entre lo mejor conocido y la solución de la metodología propuesta tiende a disminuir. Esto último es debido a que la teoría de campo medio, como su nombre lo indica, trabaja con un esquema de promedios por lo que a medida que crece el número de variables las soluciones tienden a ser más precisas.

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